Номер / задача 502 страница 141, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского
Учебник: Просвещение, 2024
Условие: Дан острый угол, величина которого равна $\alpha$. На его стороне на расстоянии $l$ от вершины отметили точку $A_1$. Из неё провели перпендикуляр $A_1A_2$ ко второй стороне угла, из точки $A_2$ провели перпендикуляр $A_2A_3$ к первой стороне и т. д. (рис. 61). Получилась ломаная с бесконечным числом звеньев. Вычислите её длину, если:
а) $l = 1$ м, $\alpha = 45°$;
б) $l = 1$ м, $\alpha = 30°$.
Рассмотрим острый угол с вершиной 
. Точка 
лежит на одной стороне угла, 
. Перпендикуляр 
опущен на вторую сторону, значит треугольник 
— прямоугольный с прямым углом при 
.
В прямоугольном треугольнике 
:
Далее из 
проводим перпендикуляр 
на первую сторону. В прямоугольном треугольнике 
:
Каждое следующее звено ломаной в 
раз меньше предыдущего. Звенья ломаной образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:
с первым членом 
и знаменателем 
. Поскольку 
, имеем 
.
По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
а) 
м, 
.
Умножим числитель и знаменатель на 
:
б) 
м, 
.
Умножим числитель и знаменатель на 
:
