Номер / задача 486 страница 136, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского
Учебник: Просвещение, 2024
Условие: Определите, возрастает или убывает геометрическая прогрессия $\{a_n\}$:
а) если $a_1 < 0$, $q > 1$; б) если $a_1 < 0$, $0 < q < 1$.
Является ли она ограниченной?
а) 
, 
.
Рассмотрим отношение последующего члена к предыдущему и разность:
Так как 
и 
, все члены прогрессии отрицательны: 
. При этом 
, значит:
то есть прогрессия убывает (каждый следующий член меньше предыдущего).
Проверим ограниченность. Так как 
, то 
при 
, а 
. Прогрессия ограничена сверху (
), но не ограничена снизу.
Прогрессия не является ограниченной.
б) 
, 
.
Все члены отрицательны: 
. Рассмотрим разность:
Здесь 
и 
, поэтому:
то есть прогрессия возрастает.
Проверим ограниченность. Так как 
, то 
при 
, значит 
. Все члены удовлетворяют неравенствам:
Прогрессия ограничена снизу числом 
и сверху числом 
.
Прогрессия является ограниченной.
