Номер / задача 485 страница 136, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского
Учебник: Просвещение, 2024
Условие: Верно ли, что геометрическая прогрессия с положительными членами:
а) возрастает и ограничена снизу, если $q > 1$;
б) убывает и ограничена сверху, если $0 < q < 1$?
а) Пусть 
— геометрическая прогрессия с положительными членами и 
.
Возрастание. По формуле 
-го члена 
, где 
. Тогда
значит 
для любого 
, т.е. прогрессия возрастает.
Ограниченность снизу. Так как все члены положительны и прогрессия возрастает, наименьший член — первый: 
для всех 
. Следовательно, прогрессия ограничена снизу (например, числом 
или нулём).
Ответ: да, верно.
б) Пусть 
— геометрическая прогрессия с положительными членами и 
.
Убывание. Аналогично:
значит 
для любого 
, т.е. прогрессия убывает.
Ограниченность сверху. Так как прогрессия убывает, наибольший член — первый: 
для всех 
. Следовательно, прогрессия ограничена сверху числом 
.
Ответ: да, верно.
