ГДЗ 9 класс Алгебра Никольский, Потапов, Решетниов Номер 437

Номер / задача 437 страница 126, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского

Учебник: Просвещение, 2024

Условие: Последовательность задана формулой $n$-го члена: а) $a_n = \dfrac{3n+5}{2n-1}$; б) $b_n = \dfrac{2n+1}{3n-5}$; в) $x_n = \dfrac{3n-5}{2n-1}$; г) $y_n = \dfrac{2n+1}{3n+5}$. Является ли последовательность возрастающей, убывающей, ограниченной?

а)

Исследуем на монотонность:

Раскроем числитель:

при любом натуральном . Значит, последовательность убывающая.

Ограниченность. Так как последовательность убывающая, наибольший член — первый: , поэтому (ограничена сверху).

При : и , значит (ограничена снизу). Более точно, , поэтому .

Последовательность ограничена: .

б)

При : ; при : . Уже .

Для знаменатель . Вычислим для :

Числитель:

Но , поэтому последовательность не является монотонной (ни возрастающей, ни убывающей).

Ограниченность. Наибольший член — , значит . Наименьший — , значит .

Последовательность ограничена: .

в)

Числитель:

при любом натуральном . Последовательность возрастающая.

Ограниченность. Наименьший член — , поэтому . Далее, , поэтому .

Последовательность ограничена: .

г)

Числитель:

при любом натуральном . Последовательность возрастающая.

Ограниченность. Наименьший член — , поэтому . Далее, , поэтому .

Последовательность ограничена: .

Номер 437