ГДЗ 9 класс Алгебра Никольский, Потапов, Решетниов Номер 436

Номер / задача 436 страница 126, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского

Учебник: Просвещение, 2024

Условие: Последовательность задана формулой $n$-го члена: а) $a_n = \dfrac{n+1}{n}$; б) $b_n = \dfrac{2n+5}{2n+3}$; в) $x_n = \dfrac{3n+4}{4n+1}$; г) $y_n = \dfrac{4n-1}{3n-2}$. Докажите, что последовательность является убывающей и ограниченной.

а)

Убывание. Вычислим разность:

при любом натуральном . Значит, последовательность убывающая.

Ограниченность. Так как последовательность убывающая, наибольший член — первый: , поэтому (ограничена сверху).

При любом натуральном имеем , значит , поэтому (ограничена снизу).

Таким образом, , и последовательность ограничена.

б)

Убывание.

при любом натуральном . Значит, последовательность убывающая.

Ограниченность. Наибольший член — первый: , поэтому .

При любом натуральном : , значит . Таким образом, , и последовательность ограничена.

в)

Убывание.

при любом натуральном . Значит, последовательность убывающая.

Ограниченность. Наибольший член — первый: , поэтому .

При любом натуральном : и , значит . Более точно: . Таким образом, , и последовательность ограничена.

г)

Убывание.

при любом натуральном (заметим, что при ). Значит, последовательность убывающая.

Ограниченность. Наибольший член — первый: , поэтому .

При любом натуральном : (так как при ). Таким образом, , и последовательность ограничена.

Номер 436