ГДЗ 9 класс Алгебра Никольский, Потапов, Решетниов Номер 435

Номер / задача 435 страница 126, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского

Учебник: Просвещение, 2024

Условие: Последовательность задана формулой $n$-го члена: а) $a_n = \dfrac{n-1}{n}$; б) $b_n = \dfrac{2n+3}{2n+5}$; в) $x_n = \dfrac{3n+5}{4n+7}$; г) $y_n = \dfrac{4n-3}{2n-1}$. Докажите, что последовательность является возрастающей и ограниченной.

а)

Возрастание. Вычислим разность:

при любом натуральном . Значит, последовательность возрастающая.

Ограниченность. Так как последовательность возрастающая, наименьший член — первый: , поэтому для всех .

Далее, для всех натуральных .

Таким образом, , и последовательность ограничена.

б)

Возрастание.

Раскроем числитель:

Значит,

при любом натуральном . Последовательность возрастающая.

Ограниченность. Наименьший член: , поэтому .

Далее, для всех натуральных .

Таким образом, , и последовательность ограничена.

в)

Возрастание.

Числитель:

Разность числителей: .

Последовательность возрастающая.

Ограниченность. Наименьший член: , поэтому .

Далее, ... Проще: ... Покажем напрямую: , так как при .

Таким образом, , и последовательность ограничена.

г)

Возрастание.

Числитель:

Разность: .

Последовательность возрастающая.

Ограниченность. Наименьший член: , поэтому .

Далее, для всех натуральных .

Таким образом, , и последовательность ограничена.

Номер 435