Номер / задача 433 страница 125, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского
Учебник: Просвещение, 2024
Условие: Докажите, что последовательность десятичных приближений числа $\pi$ с недостатком $3;\ 3{,}1;\ 3{,}14;\ 3{,}141;\ \ldots$ является ограниченной.
Доказательство.
Обозначим данную последовательность как 
, где 
— десятичное приближение числа 
с недостатком до 
-го знака после запятой:
Покажем, что последовательность ограничена снизу и сверху.
Ограниченность снизу. Так как приближения с недостатком неотрицательны (более того, каждое из них не меньше 3), то для каждого члена последовательности выполняется неравенство
Значит, последовательность ограничена снизу числом 
.
Ограниченность сверху. По определению приближения с недостатком, каждое 
не превосходит самого числа 
. Так как 
, то для каждого члена последовательности выполняется неравенство
Значит, последовательность ограничена сверху числом 
.
Поскольку последовательность ограничена и снизу (
), и сверху (
), она является ограниченной. 
