Номер / задача 424 страница 122, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского
Заметим, что 
.
Член последовательности 
тогда и только тогда, когда 
, то есть
Это означает 
, причём 
(т.е. 
).
Значения 
при натуральных 
принимают следующие значения:
 |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
 |
81 | 64 | 49 | 36 | 25 | 16 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | ... |
Условие 
равносильно 
, поэтому нам нужно подсчитать количество натуральных 
, для которых 
.
а) Единственный отрицательный член.
Наименьшее значение 
достигается при 
. Следующее значение — 
при 
и 
.
Чтобы 
, нужно 
. Чтобы 
и 
, нужно 
.
б) Ровно пять отрицательных членов.
Нужно, чтобы ровно 5 натуральных 
удовлетворяли 
. Значения 
в порядке возрастания: 
(при 
; 
; 
; 
; 
; 
; ...).
Значения добавляются парами (кроме 
), поэтому количество решений: 1, 3, 5, 7, 9, ... (нечётные числа).
Пять отрицательных членов — это 
. Для этого нужно:
при 
, т.е. 
,
при 
, т.е. 
.
в) Ровно двадцать отрицательных членов.
Двадцать — чётное число. Поскольку значения добавляются парами, количество отрицательных членов может быть чётным только если левая граница интервала 
отсекает одно значение из пары.
При 
(т.е. 
, 
) количество натуральных 
в интервале всегда нечётно (симметрия относительно 10).
При 
, т.е. 
(
), левая граница выходит за пределы натуральных чисел, и 
начинается с 1. Тогда нужно:
и количество таких натуральных 
равно 
, точнее — наибольшее натуральное 
, для которого 
.
Нам нужно ровно 20 отрицательных членов: 
, но 
уже не отрицательный.
: 
, т.е. 
.
: 
, т.е. 
.
