Номер / задача 351 страница 103, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского

а) Докажем, что — иррациональное число.

Предположим противное: пусть — рациональное число, т.е.

где — натуральные числа, причём дробь несократима, т.е. .

Возведём обе части в куб:

Значит, — чётное число, а тогда и — чётное (если бы было нечётным, то тоже было бы нечётным). Пусть , тогда

Значит, — чётное число, а тогда и — чётное.

Но тогда и оба чётные, что противоречит несократимости дроби .

Следовательно, наше предположение неверно, и — иррациональное число.

б) Докажем, что иррационально, где — простое число.

Предположим противное: пусть — рациональное число, т.е.

где — натуральные числа, .

Возведём обе части в куб:

Значит, делится на простое число , а тогда и делится на (если бы не делилось на , то и не делилось бы на , поскольку — простое). Пусть , тогда

Значит, делится на , а тогда и делится на .

Но тогда и оба делятся на , что противоречит условию .

Следовательно, — иррациональное число.