Номер / задача 350 страница 103, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского

Докажем, что , , , — иррациональные числа, т.е. не существует рационального числа, куб которого равен 2, 3, 4 или 5 соответственно.

а) Куб равен 2

Предположим противное: существует рациональное число (дробь несократимая, ), такое что

Значит, чётно, следовательно, чётно: . Тогда

значит, чётно, следовательно, чётно. Но тогда и оба чётны, что противоречит несократимости дроби .

б) Куб равен 3

Предположим, что , где — несократимая дробь. Тогда

Значит, делится на 3, следовательно, делится на 3: . Тогда

значит, делится на 3, следовательно, делится на 3. Противоречие с несократимостью дроби.

в) Куб равен 4

Предположим, что , где — несократимая дробь. Тогда

Значит, чётно, следовательно, чётно: . Тогда

значит, чётно, следовательно, чётно. Противоречие с несократимостью дроби.

г) Куб равен 5

Предположим, что , где — несократимая дробь. Тогда

Значит, делится на 5, следовательно, делится на 5: . Тогда

значит, делится на 5, следовательно, делится на 5. Противоречие с несократимостью дроби.

Во всех четырёх случаях предположение о существовании рационального числа, куб которого равен данному числу, приводит к противоречию. Это согласуется с утверждением параграфа: числа 2, 3, 4, 5 не являются кубами натуральных чисел, поэтому , , , — иррациональные числа.