Номер / задача 345 страница 103, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского
а) Пусть 
— простое число. Простое число не является 
-й степенью натурального числа ни при каком 
, так как если бы 
при 
, то 
делилось бы на 
и при этом 
(ведь 
при 
), что противоречит простоте 
. А при 
получаем 
.
Значит, по утверждению из параграфа, арифметический корень 
— иррациональное число.
Ответ: нет, 
не может быть рациональным числом.
б) Корень степени 
из натурального числа может быть рациональным, а может и не быть — зависит от числа.
По утверждению из параграфа, арифметический корень степени 
из натурального числа может быть либо натуральным, либо иррациональным числом. Натуральное число является рациональным, поэтому корень степени 
из натурального числа может быть рациональным — тогда и только тогда, когда подкоренное число является 
-й степенью натурального числа.
Например:
— рациональное число, так как 
;
— иррациональное число, так как 17 не является кубом натурального числа.
Ответ: да, может, если натуральное число является 
-й степенью натурального числа (например, 
). В противном случае корень иррационален.
