Номер / задача 277 страница 91, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского
Учебник: Просвещение, 2024
Условие: а) Что называют арифметическим корнем степени $n$ ($n \geqslant 2$) из числа $a$?
б) Для каких действительных чисел определён арифметический корень степени $n$ ($n \geqslant 2$) из данного числа?
в) Сколько существует арифметических корней степени $n$ ($n \geqslant 2$) из данного числа?
г) Верны ли для любого неотрицательного числа $a$ и любого натурального числа $n$ ($n \geqslant 2$) равенства $\sqrt[n]{a^n} = (\sqrt[n]{a})^n = a$?
д) Если $a^n = b^n$, то всегда ли $a = b$?
а) Арифметическим корнем степени 
из числа 
называют неотрицательный корень степени 
из неотрицательного числа 
, то есть такое неотрицательное число 
, что 
.
б) Арифметический корень степени 
определён для неотрицательных действительных чисел, то есть для 
.
в) Если арифметический корень степени 
из данного числа существует, то он единственный.
г) Да, верны. По теореме 1, для любого неотрицательного числа 
и любого натурального числа 
справедливы равенства:
д) Нет, не всегда. Равенство 
влечёт 
только при условии, что 
и 
(теорема 2).
Контрпример: пусть 
, 
, 
. Тогда
но 
.
