Номер / задача 189 страница 65, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского

а) Сумма кубов катетов прямоугольного треугольника меньше куба гипотенузы.

Пусть и — катеты, — гипотенуза прямоугольного треугольника. Нужно доказать, что

По теореме Пифагора , откуда и , т.е. и .

Так как , то по утверждению 5 (умножаем неравенство на положительное число ):

Так как , то аналогично (умножаем неравенство на положительное число ):

Складывая неравенства (1) и (2) почленно на основании утверждения 2, получаем:

Так как , то

что и требовалось доказать.

б) , если — натуральное число и .

Докажем методом математической индукции.

База индукции. При неравенство , т.е. , справедливо по условию.

Шаг индукции. Предположим, что для некоторого натурального числа справедливо неравенство

Докажем, что тогда справедливо неравенство .

Так как , то . По утверждению 5 умножим обе части неравенства (3) на положительное число :

Так как и (поскольку ), то по утверждению 5 умножим обе части неравенства на положительное число :

По свойству транзитивности (утверждение 1) из неравенств (4) и (5) следует:

Тем самым по принципу математической индукции неравенство справедливо для любого натурального числа , что и требовалось доказать.