ГДЗ 9 класс Алгебра Никольский, Потапов, Решетниов Номер 187

Номер / задача 187 страница 65, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского

Учебник: Просвещение, 2024

Условие: а) $a^2 + b^2 + c^2 \geqslant ab + ac + bc$; б) $\dfrac{ab}{c} + \dfrac{ac}{b} + \dfrac{bc}{a} \geqslant a + b + c$ $(a > 0,\ b > 0,\ c > 0)$; в) $-\sqrt{2} \leqslant a + b \leqslant \sqrt{2}$, если $a^2 + b^2 = 1$; г) $9a + \dfrac{4}{a} \geqslant 12$ $(a > 0)$; д) $25a + \dfrac{4}{a} \geqslant 20$ $(a > 0)$.

а) Докажем, что для любых действительных чисел , , справедливо неравенство

Для любых действительных чисел справедливы неравенства:

Раскроем скобки:

Складывая эти неравенства почленно (утверждение 2), получаем:

По утверждению 4 прибавим к обеим частям:

По утверждению 5 разделим обе части на положительное число :

что и требовалось доказать.

б) Докажем, что для любых положительных чисел , , справедливо неравенство

Применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим к парам положительных чисел:

Складывая эти три неравенства почленно (утверждение 2):

По утверждению 5 разделим обе части на :

что и требовалось доказать.

в) Докажем, что если , то .

Рассмотрим выражение .

Из пункта а) (при ) следует , откуда , т.,е. .

Более строго: так как , то , т.,е. . Аналогично даёт , т.,е. .

Поэтому:

Из следует , т.,е.

что и требовалось доказать.

г) Докажем, что для любого положительного числа справедливо неравенство

Применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим к положительным числам и :

По утверждению 5 умножим обе части на :

что и требовалось доказать.

д) Докажем, что для любого положительного числа справедливо неравенство

Применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим к положительным числам и :

По утверждению 5 умножим обе части на :

что и требовалось доказать.

Номер 187