ГДЗ 9 класс Алгебра Никольский, Потапов, Решетниов Номер 186

Номер / задача 186 страница 65, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского

Учебник: Просвещение, 2024

Условие: а) $\sqrt{ab} \geqslant \dfrac{2ab}{a + b}$ $(a > 0,\ b > 0)$; б) $(a + b)\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right) \geqslant 4$ $(a > 0,\ b > 0)$; в) $(1 + a)\left(1 + \dfrac{1}{a}\right) \geqslant 4$ $(a > 0)$; г) $2a^2 + b^2 + c^2 \geqslant 2a(b + c)$; д) $\dfrac{a}{b^2} + \dfrac{b}{a^2} \geqslant \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}$ $(a > 0,\ b > 0)$; е) $(a^2 - b^2)^2 \geqslant 4ab(a - b)^2$.

а) при

По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим:

Так как и , то и . Умножим обе части на (утверждение 5):

что и требовалось доказать.

б) при

По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим:

Перемножим почленно эти неравенства (обе части положительны, утверждение 3):

Умножив обе части на (утверждение 5), получаем:

что и требовалось доказать.

в) при

Заметим, что

По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим для положительных чисел и :

Возведём обе части (положительные) в квадрат (утверждение 3, умножая неравенство само на себя):

Разделим обе части на (утверждение 5):

что и требовалось доказать.

г)

Рассмотрим выражение :

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то и . По утверждению 2:

По утверждению 4 из следует , что и требовалось доказать.

д) при

Рассмотрим разность:

Преобразуем:

Так как , и , то .

По утверждению 4 получаем , что и требовалось доказать.

е)

Рассмотрим . Так как :

Так как для любых действительных чисел, то .

По утверждению 4 из следует , что и требовалось доказать.

Номер 186