ГДЗ 9 класс Алгебра Никольский, Потапов, Решетниов Номер 185

Номер / задача 185 страница 65, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского

Учебник: Просвещение, 2024

Условие: а) $4c^2 + 1 \geqslant 4c$; б) $a^3 + b^3 \geqslant a^2b + ab^2$ $(a + b \geqslant 0)$; в) $(a + b)^2 \geqslant 4ab$; г) $a + \dfrac{1}{a} \leqslant -2$ $(a < 0)$; д) $a^2 + \dfrac{1}{a^2} \geqslant 2$ $(a \neq 0)$; е) $\dfrac{2a}{a^2 + 1} \leqslant 1$; ж) $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geqslant 2$ $(ab > 0)$; з) $\dfrac{9}{a^2} + \dfrac{a^2}{25} \geqslant \dfrac{6}{5}$ $(a \neq 0)$.

а)

Для любого действительного числа справедливо неравенство

Раскроем скобки:

По утверждению 4, прибавив к обеим частям, получаем , что и требовалось доказать.

б) при

Рассмотрим разность:

Так как для любых действительных чисел и по условию, то

то есть . По утверждению 4 из этого следует , что и требовалось доказать.

в)

Для любых действительных чисел и справедливо неравенство

Раскроем скобки:

По утверждению 4, прибавив к обеим частям:

то есть , что и требовалось доказать.

г) при

Так как , обозначим , тогда . Подставим :

По неравенству (5) из параграфа для положительного числа справедливо . Умножим обе части на , при этом знак неравенства меняется:

Следовательно, , что и требовалось доказать.

д) при

Рассмотрим неравенство

которое справедливо для любого действительного числа . Раскроем скобки:

По утверждению 4, прибавив к обеим частям, получаем , что и требовалось доказать.

е)

Для любого действительного числа справедливо , то есть

По утверждению 4, прибавив к обеим частям:

Так как , разделим обе части на положительное число (утверждение 5):

то есть , что и требовалось доказать.

ж) при

Так как , числа и одного знака, поэтому и . Обозначим , тогда и .

По неравенству (5) из параграфа для положительного :

то есть , что и требовалось доказать.

з) при

Рассмотрим неравенство

справедливое для любого действительного . Раскроем скобки:

По утверждению 4, прибавив к обеим частям, получаем , что и требовалось доказать.

Номер 185