Номер / задача 17 страница 316, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского

Доказательство

Используем метод от противного. Предположим, что и — нечётное число.

Пусть для некоторого натурального (так как ).

Тогда по определению:

Сравним множители попарно. В произведении ровно множителей: . В произведении имеется множитель: .

Выделим из последний множитель:

Сравним и попарно по множителям:

:
часть :

Каждый множитель больше соответствующего множителя из набора , так как для всех . Значит:

Обозначим . Тогда , но:

Оценим отношение:

Хотя каждая дробь , множитель может компенсировать это. Покажем напрямую, что при нечётном .

Докажем по индукции, что для нечётного при :

База: , : , . Верно: .

Переход: Пусть для выполнено . Покажем для (следующее нечётное):

По предположению индукции , и , поэтому:

Индукционный переход доказан. Значит, для всех нечётных выполнено , то есть .

Это противоречит условию .

Следовательно, наше предположение неверно, и — чётное число.