Номер / задача 140 страница 45, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского

Рассмотрим многочлен .

Заметим, что множитель возведён в чётную степень, поэтому для всех , и при переходе через точку знак произведения не меняется. Множители и — в первой степени (нечётной), поэтому при переходе через точки и знак меняется.

Без учёта точки произведение даёт знаки: «» на , «» на , «» на . Домножение на (при ) не меняет этих знаков, но в точке многочлен обращается в нуль.

Разберём случаи в зависимости от положения относительно точек и .

а)

Без точки множество решений неравенства — это , то есть два интервала. Точка (где ) может «выколоть» точку из одного из этих интервалов, разбив его на два.

Два интервала получается, когда точка не попадает строго внутрь интервалов и , то есть когда . При или точка совпадает с корнем, и интервалы остаются теми же двумя. При точка попадает в интервал , что тоже не влияет.

Итого: при — два интервала.

Три интервала получается, когда точка попадает строго внутрь одного из положительных интервалов и разбивает его на два:

• : точка выкалывается из , получаем — три интервала;
• : точка выкалывается из , получаем — три интервала.

Итого: при или — три интервала.

б)

Без точки множество решений неравенства — это интервал , то есть один интервал. Точка может выколоть точку из этого интервала, разбив его на два.

Один интервал получается, когда точка не попадает строго внутрь :

Два интервала получается, когда точка попадает строго внутрь и разбивает его: :

Ответ

а) Множество решений неравенства состоит из двух интервалов при ; из трёх интервалов при или .

б) Множество решений неравенства состоит из одного интервала при или ; из двух интервалов при .