Номер / задача 1182 страница 293, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского
Учебник: Просвещение, 2024
Условие: Докажите, что если $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ — углы треугольника, то справедливы равенства и неравенство:
а) $\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma = 4\cos\dfrac{\alpha}{2} \cos\dfrac{\beta}{2} \cos\dfrac{\gamma}{2}$;
б) $\cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma = 4\sin\dfrac{\alpha}{2} \sin\dfrac{\beta}{2} \sin\dfrac{\gamma}{2} + 1$;
в) $\sin^2\alpha + \sin^2\beta + \sin^2\gamma > 2$, где $\alpha < 90°$, $\beta < 90°$, $\gamma < 90°$.
а) 
Так как 
, то 
.
Преобразуем сумму первых двух слагаемых:
Поскольку 
, имеем 
, значит:
Преобразуем третье слагаемое:
Складываем:
Так как 
, получаем:
б) 
Аналогично преобразуем:
Для третьего слагаемого используем 
:
Заменяем 
:
в) 
при 
Используем 
:
Углы 
— углы «удвоенного» набора с суммой 
. Применим формулу из пункта б) к углам 
(сумма 
):
Так как 
, то 
:
Тогда:
Нужно доказать, что 
.
Так как 
, то 
. Далее, 
(ибо 
), значит 
, поэтому 
(при 
— строгое). Но 
(так как 
при 
, а 
).
Итого 
, а 
, значит произведение отрицательно:
