Номер / задача 1077 страница 282, 283, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского
Учебник: Просвещение, 2024
Условие: а) Автомобилист ехал некоторое время со скоростью $a$ км/ч, потом точно такое же время со скоростью $b$ км/ч. Выразите через $a$ и $b$ среднюю скорость движения на всём пути (обозначьте её $v_1$).
б) Автомобилист проехал некоторое расстояние со скоростью $a$ км/ч, потом точно такое же расстояние со скоростью $b$ км/ч. Выразите через $a$ и $b$ среднюю скорость движения на всём пути (обозначьте её $v_2$).
в) Сравните $v_1$ и $v_2$ (см. предыдущие задания). г) Для положительных чисел $a$ и $b$ различают: среднее арифметическое чисел $a$ и $b$ — число $A = \dfrac{a+b}{2}$; среднее геометрическое чисел $a$ и $b$ — число $G = \sqrt{ab}$; среднее гармоническое чисел $a$ и $b$ — число $H$, такое, что $\dfrac{1}{H} = \dfrac{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}{2}$, откуда $H = \dfrac{2ab}{a+b}$. Докажите, что для чисел $G$, $H$ и $A$ справедливо неравенство $H \leqslant G \leqslant A$.
а) Пусть время каждого участка равно 
.
б) Пусть расстояние каждого участка равно 
.
в) Сравним 
и 
:
Так как 
, 
, то 
, причём равенство достигается только при 
.
Заметим, что 
(среднее арифметическое), а 
(среднее гармоническое).
г) Докажем неравенство 
для положительных 
и 
.
1) Докажем 
, т.е. 
.
Значит, 
. 
2) Докажем 
, т.е. 
.
Разделим обе части на 
:
Это равносильно 
, что уже доказано в пункте 1.
Значит, 
. 
Таким образом,
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда 
.
