User Name N
ГДЗ 9 класс Алгебра Никольский, Потапов, Решетниов Номер 1076

Номер / задача 1076 страница 282, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского

Учебник: Просвещение, 2024
Условие: Докажите, что если: а) $a > 0$ и $a = b$, то $a^k = b^k$ при любом натуральном $k$; б) $a > b > 0$, то $a^k > b^k$ при любом натуральном $k$. Сформулируйте и докажите утверждения, обратные утверждениям «а» и «б».

а) Если и , то при любом натуральном

Доказательство методом математической индукции по .

База: при : . Верно.

Шаг индукции: пусть при верно . Докажем для :

(использовали по предположению индукции и по условию).

Утверждение доказано.

б) Если , то при любом натуральном

Доказательство методом математической индукции по .

База: при : . Верно по условию.

Шаг индукции: пусть при верно . Докажем для :

Первое неравенство: (предположение индукции), а , поэтому можно умножить обе части на .

Второе неравенство: (условие), а , поэтому можно умножить обе части на .

Итого . Утверждение доказано.

Обратные утверждения

Обратное к а): Если и при некотором натуральном , то .

Доказательство. Из и следует . Допустим, . Тогда либо , либо . В обоих случаях по доказанному в пункте б) получаем — противоречие. Значит, .

Обратное к б): Если при некотором натуральном и , , то .

Доказательство. Рассмотрим три случая:

  1. — тогда по пункту а) , что противоречит условию .
  2. — тогда , и по пункту б) , что противоречит условию .
  3. — единственный оставшийся случай.

Значит, .

Номер 1076