Номер / задача 1074 страница 282, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского
Учебник: Просвещение, 2024
Условие: а) $a^2 + b^2 \geqslant \dfrac{1}{2}$ ($a > 0$, $b > 0$, $a + b = 1$);
б) $a^2 + 1 > \dfrac{2a}{a^2 + 1}$.
а) Доказать: 
при 
, 
, 
.
Так как 
, то 
, т.е.
По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим:
Тогда:
Равенство достигается при 
. 
б) Доказать: 
(неравенство верно при любом действительном 
, причём 
всегда).
Умножим обе части на 
(знак неравенства сохраняется):
Раскроем левую часть:
Преобразуем:
Здесь 
, 
, 
, причём все три выражения одновременно обращаются в нуль только при 
и 
, что невозможно. Значит сумма строго положительна при любом 
. 
