ГДЗ 9 класс Алгебра Никольский, Потапов, Решетниов Номер 1062

Номер / задача 1062 страница 281, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского

Учебник: Просвещение, 2024

Условие: а) $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} \geqslant 3$ $(a > 0, b > 0, c > 0)$; б) $\dfrac{a^3 + b^3}{2} \geqslant \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^3$ $(a > 0, b > 0)$; в) $(a + b)^4 \geqslant 8a^4 + 8b^4$; г) $(a + 2)(b + 2)(a + b) \geqslant 16ab$ $(a > 0, b > 0)$; д) $ab(a + b) \leqslant a^3 + b^3$ $(a \geqslant 0, b \geqslant 0)$; е) $a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab + bc + ac)$, если $a$, $b$ и $c$ — стороны некоторого треугольника.

Задача 1062

а) Доказать: при

По неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом (AM ≥ GM) для трёх положительных чисел:

Положим , , . Тогда:

Следовательно:

б) Доказать: при

Рассмотрим разность:

Приведём к общему знаменателю:

Раскроем :

При : и , поэтому разность .

в) Доказать: — неверно

Покажем, что неравенство неверно в общем случае. Возьмём :

— ложь.

Скорее всего, требуется доказать обратное неравенство: .

Рассмотрим разность . Раскроем:

Пусть , тогда нужно показать :

Разложим:

Так как и (дискриминант ), то разность .

Значит .

г) Доказать: при

По неравенству AM ≥ GM:

Перемножим:

д) Доказать: при

Рассмотрим разность:

При : и , поэтому разность .

е) Доказать: , если — стороны треугольника

Так как — стороны треугольника, выполняется неравенство треугольника:

Из умножим обе части на : .

Из умножим на : .

Из умножим на : .

Сложим все три неравенства:

Номер 1062