Номер / задача 1061 страница 281, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского
Учебник: Просвещение, 2024
Условие: а) $m + \dfrac{9}{m} \geqslant 6$ $(m > 0)$; б) $x - 1 \leqslant \dfrac{x^2}{4}$; в)* $n! \leqslant \left(\dfrac{n+1}{2}\right)^n$ $(n \in \mathbb{N})$.
Задача 1061
Доказать неравенства.
а) 
при 
Рассмотрим разность:
При 
имеем 
и 
, значит 
.
Следовательно, 
, т.е. 
. 
б) 
Рассмотрим разность:
Так как 
при любом 
, то 
.
Следовательно, 
, т.е. 
. 
в)* 
при 
Воспользуемся неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим: для положительных чисел 
Возьмём 
. Тогда:
Вычислим правую часть:
Таким образом:
Возведём обе части в степень 
(обе части положительны):
