Номер / задача 1060 страница 281, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского
Учебник: Просвещение, 2024
Условие: а) $a + b \geqslant 2\sqrt{ab}$ $(a \geqslant 0, b \geqslant 0)$;
б) $a + \dfrac{4}{a} \geqslant 4$ $(a > 0)$;
в) $a + \dfrac{9}{a} \leqslant 4$ $(a < 0)$;
г) $4a + \dfrac{1}{a} \geqslant 4$ $(a > 0)$;
д) $9a + \dfrac{4}{a} \geqslant 12$ $(a > 0)$;
е) $25a + \dfrac{16}{a} \geqslant 40$ $(a > 0)$.
Все неравенства доказываются с помощью одного приёма: разность левой и правой частей представляется как полный квадрат.
а) Докажем, что 
при 
.
Значит, 
. 
б) Докажем, что 
при 
.
так как 
и 
. 
в) Докажем, что 
… Нет, нужно доказать 
? Проверим: при 
обе слагаемые отрицательны, поэтому неравенство верно в более сильной форме. Докажем:
При 
: 
и 
, поэтому 
.
Значит, 
. 
г) Докажем, что 
при 
.
так как 
и 
. 
д) Докажем, что 
при 
.
так как 
и 
. 
е) Докажем, что 
при 
.
так как 
и 
. 
