Номер / задача 1033 страница 277, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского

Учебник: Просвещение, 2024

Условие: Изобразите все точки координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству $$(|x|-1)^2 + (y-1)^2 \leqslant 1$$ или системе неравенств $$\begin{cases} (|x|-1)^2 + (|y|-1)^2 \geqslant 1, \\ |x| + |y| \leqslant 1. \end{cases}$$

Решение

Первое множество:

Это неравенство задаёт внутренность круга радиуса 1 с центром, зависящим от знака :

При : — круг с центром , .
При : , т.е. — круг с центром , .

Итого: два круга, симметричных относительно оси , с центрами и .

Второе множество (система):

Второе неравенство задаёт квадрат (ромб) с вершинами , , , .

Первое неравенство — это внешность кругов радиуса 1 с центрами (четыре круга по симметрии модулей).

Рассмотрим, например, первую четверть (, ): нужна часть треугольника , лежащая вне круга . Круг с центром проходит через точки и , а внутри треугольника он «вырезает» дугу. Часть треугольника, лежащая вне этого круга, — это область вблизи начала координат.

По симметрии аналогичные «уголки» появляются во всех четырёх четвертях.

Объединение обоих множеств и есть искомая фигура.

Ответ: искомое множество состоит из:

двух кругов радиуса 1 с центрами и (включая границу);
четырёх «уголков» ромба , оставшихся после удаления частей кругов с центрами (области вблизи вершин ромба на осях координат).

Номер 1033