Номер / задача 44 страница 16, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского

Неравенство первой степени с одним неизвестным имеет вид \(ax + b < 0\) (или \(>\), \(\leqslant\), \(\geqslant\)), где \(a \neq 0\).

а) Может ли неравенство первой степени быть верным при любом значении неизвестного?

Нет, не может. Поскольку \(a \neq 0\), неравенство \(ax + b < 0\) равносильно (при \(a > 0\)):

\[x < -\frac{b}{a},\]

а при \(a < 0\):

\[x > -\frac{b}{a}.\]

В обоих случаях множество решений — луч, а не вся числовая прямая. Значит, всегда найдётся значение \(x\), не удовлетворяющее неравенству.

Ответ: нет, не может.

б) Может ли неравенство первой степени не иметь решений?

Нет, не может. Как показано выше, при \(a \neq 0\) решением неравенства является луч \(\left(-\infty;\, -\frac{b}{a}\right)\) или \(\left(-\frac{b}{a};\, +\infty\right)\), который всегда содержит бесконечно много чисел.

Ответ: нет, не может.

Замечание. Случаи, когда неравенство верно при всех \(x\) или не имеет решений, возникают только у линейных неравенств вида \(0 \cdot x + b < 0\) (где \(a = 0\)), которые уже не являются неравенствами первой степени.