Номер / задача 43 страница 15, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского

Учебник:

Условие: Решите неравенство: а) $\frac{x - 1}{3} < 1$; б) $\frac{x}{2} - \frac{x}{3} > 2$; в) $\frac{2x}{3} < \frac{x}{4} - 1$; г) $\frac{3x}{2} + \frac{x}{6} - \frac{2x}{3} > 8$; д) $\frac{x - 4}{5} > 2 - \frac{x}{3}$; е) $\frac{2x + 1}{4} + 2 < \frac{3x + 2}{3}$; ж) $\frac{x - 1}{2} - \frac{x}{4} < \frac{x}{6} + \frac{x - 2}{3}$; з) $\frac{7x - 2}{4} > 1 - \frac{x - 1}{3} + 2\frac{1}{12}x$.

а) $\dfrac{x-1}{3} < 1$

Умножим обе части на $3$ (положительное число):

\[x - 1 < 3\]

Перенесём $-1$ в правую часть:

\[x < 4\]

Ответ: $(-\infty;\, 4)$.

б) $\dfrac{x}{2} - \dfrac{x}{3} > 2$

Умножим обе части на $6$:

\[3x - 2x > 12\]

Приведём подобные:

\[x > 12\]

Ответ: $(12;\, +\infty)$.

в) $\dfrac{2x}{3} < \dfrac{x}{4} - 1$

Умножим обе части на $12$:

\[8x < 3x - 12\]

Перенесём $3x$ в левую часть:

\[8x - 3x < -12\]

\[5x < -12\]

Разделим на $5$:

\[x < -\frac{12}{5}\]

Ответ: $\left(-\infty;\, -\dfrac{12}{5}\right)$.

г) $\dfrac{3x}{2} + \dfrac{x}{6} - \dfrac{2x}{3} > 8$

Умножим обе части на $6$:

\[9x + x - 4x > 48\]

Приведём подобные:

\[6x > 48\]

Разделим на $6$:

\[x > 8\]

Ответ: $(8;\, +\infty)$.

д) $\dfrac{x-4}{5} > 2 - \dfrac{x}{3}$

Умножим обе части на $15$:

\[3(x-4) > 30 - 5x\]

\[3x - 12 > 30 - 5x\]

Перенесём все члены в левую часть:

\[3x - 12 - 30 + 5x > 0\]

\[8x - 42 > 0\]

\[8x > 42\]

\[x > \frac{42}{8} = \frac{21}{4}\]

Ответ: $\left(\dfrac{21}{4};\, +\infty\right)$.

е) $\dfrac{2x+1}{4} + 2 < \dfrac{3x+2}{3}$

Умножим обе части на $12$:

\[3(2x+1) + 24 < 4(3x+2)\]

\[6x + 3 + 24 < 12x + 8\]

\[6x + 27 < 12x + 8\]

Перенесём все члены в левую часть:

\[6x - 12x + 27 - 8 < 0\]

\[-6x + 19 < 0\]

Умножим на $(-1)$, меняя знак неравенства:

\[6x - 19 > 0\]

\[6x > 19\]

\[x > \frac{19}{6}\]

Ответ: $\left(\dfrac{19}{6};\, +\infty\right)$.

ж) $\dfrac{x-1}{2} - \dfrac{x}{4} < \dfrac{x}{6} + \dfrac{x-2}{3}$

Умножим обе части на $12$:

\[6(x-1) - 3x < 2x + 4(x-2)\]

\[6x - 6 - 3x < 2x + 4x - 8\]

\[3x - 6 < 6x - 8\]

Перенесём все члены в левую часть:

\[3x - 6 - 6x + 8 < 0\]

\[-3x + 2 < 0\]

Умножим на $(-1)$:

\[3x - 2 > 0\]

\[x > \frac{2}{3}\]

Ответ: $\left(\dfrac{2}{3};\, +\infty\right)$.

з) $\dfrac{7x-2}{4} > 1 - \dfrac{x-1}{3} + 2\dfrac{1}{12}x$

Заметим, что $2\dfrac{1}{12} = \dfrac{25}{12}$. Умножим обе части на $12$:

\[3(7x-2) > 12 - 4(x-1) + 25x\]

\[21x - 6 > 12 - 4x + 4 + 25x\]

\[21x - 6 > 21x + 16\]

Перенесём все члены в левую часть:

\[21x - 6 - 21x - 16 < 0\]

\[0 \cdot x - 22 < 0\]

Получилось неравенство $-22 < 0$, справедливое при любых значениях $x$.

Ответ: $(-\infty;\, +\infty)$.

Номер 43