Номер / задача 28 страница 12, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского

Неравенство первой степени с одним неизвестным имеет вид \(kx + b > 0\) (или \(kx + b < 0\)), где \(k \neq 0\).

Чтобы решить его графически, нужно:

1. Рассмотреть линейную функцию \(y = kx + b\) и построить её график — прямую — в декартовой системе координат \(xOy\).

2. Найти точку пересечения прямой с осью \(Ox\). Для этого положим \(y = 0\):

\[\begin{gathered} 0 = \\ = kx_0 + b \quad \Longrightarrow \\ \Longrightarrow \quad x_0 = \\ = -\frac{b}{k}. \end{gathered}\]

3. Определить по графику, при каких значениях \(x\) прямая расположена выше оси \(Ox\) (для неравенства \(kx + b > 0\)) или ниже оси \(Ox\) (для неравенства \(kx + b < 0\)).

Результат зависит от знака углового коэффициента \(k\):

• Если \(k > 0\), то прямая возрастает, и точки графика лежат выше оси \(Ox\) правее точки \(x_0\). Поэтому:

  • \(kx + b > 0\) при \(x \in (x_0;\;+\infty)\),
  • \(kx + b < 0\) при \(x \in (-\infty;\;x_0)\).

• Если \(k < 0\), то прямая убывает, и точки графика лежат выше оси \(Ox\) левее точки \(x_0\). Поэтому:

  • \(kx + b > 0\) при \(x \in (-\infty;\;x_0)\),
  • \(kx + b < 0\) при \(x \in (x_0;\;+\infty)\).

Таким образом, чтобы решить неравенство первой степени с одним неизвестным, нужно построить график соответствующей линейной функции \(y = kx + b\), найти точку пересечения с осью \(Ox\) (\(x_0 = -\tfrac{b}{k}\)) и по расположению прямой относительно оси \(Ox\) определить интервал значений \(x\), при которых выполняется данное неравенство.