Задача 42

а) \(x(2 - x) < (3 - x)(3 + x)\)

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

\[2x - x^2 < 9 - x^2.\]

Перенесём все члены в левую часть:

\[2x - x^2 - 9 + x^2 < 0.\]

Приведём подобные члены:

\[2x - 9 < 0.\]

Получили линейное неравенство, равносильное исходному. Его решения составляют интервал \((-\infty;\ 4{,}5)\).

Ответ: \((-\infty;\ 4{,}5)\).

б) \(3(x - 1)(x + 1) > 3(1 + x^2)\)

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

\[3(x^2 - 1) > 3 + 3x^2,\]

\[3x^2 - 3 > 3 + 3x^2.\]

Перенесём все члены в левую часть:

\[3x^2 - 3 - 3 - 3x^2 > 0.\]

Приведём подобные члены:

\[0 \cdot x - 6 > 0.\]

Получили линейное неравенство, равносильное исходному. Очевидно, что нет ни одного числового значения \(x\), которое удовлетворяло бы этому неравенству.

Ответ: нет решений.

в) \((x - 2)(x - 3) + (4 - x)(x + 2) > 0\)

Раскроем скобки:

\[(x^2 - 5x + 6) + (4x + 8 - x^2 - 2x) > 0,\]

\[x^2 - 5x + 6 + 2x + 8 - x^2 > 0.\]

Приведём подобные члены:

\[-3x + 14 > 0.\]

Получили линейное неравенство, равносильное исходному. Перенесём \(-3x\) в правую часть:

\[14 > 3x.\]

Разделим обе части на \(3\) (положительное число, знак сохраняется):

\[x < \frac{14}{3}.\]

Решения составляют интервал \(\left(-\infty;\ \dfrac{14}{3}\right)\).

Ответ: \(\left(-\infty;\ \dfrac{14}{3}\right)\).

г) \((2x - 1)(x + 2) - (x - 5)(2x + 1) > 0\)

Раскроем скобки:

\[(2x^2 + 4x - x - 2) - (2x^2 + x - 10x - 5) > 0,\]

\[(2x^2 + 3x - 2) - (2x^2 - 9x - 5) > 0.\]

Раскроем скобки:

\[2x^2 + 3x - 2 - 2x^2 + 9x + 5 > 0.\]

Приведём подобные члены:

\[12x + 3 > 0.\]

Получили линейное неравенство, равносильное исходному. Перенесём \(3\) в правую часть:

\[12x > -3.\]

Разделим обе части на \(12\) (положительное число, знак сохраняется):

\[x > -\frac{1}{4}.\]

Решения составляют интервал \(\left(-\dfrac{1}{4};\ +\infty\right)\).

Ответ: \(\left(-\dfrac{1}{4};\ +\infty\right)\).