Задача 38

а) \(\frac{1}{4}x - \frac{1}{6}x + 5 > \frac{1}{3}x - 1\)

Перенесём все члены в левую часть:

\[\frac{1}{4}x - \frac{1}{6}x + 5 - \frac{1}{3}x + 1 > 0\]

Приведём подобные члены. Для дробей с \(x\) найдём общий знаменатель 12:

\[\frac{3}{12}x - \frac{2}{12}x - \frac{4}{12}x + 6 > 0\]

\[-\frac{3}{12}x + 6 > 0\]

\[-\frac{1}{4}x + 6 > 0\]

Умножим обе части на \((-4)\), меняя знак неравенства:

\[x - 24 < 0\]

Множество решений: \((-\infty;\, 24)\).

Ответ: \((-\infty;\, 24)\).

б) \(\frac{1}{2}x - 3 < 2 - \frac{1}{3}x\)

Перенесём все члены в левую часть:

\[\frac{1}{2}x - 3 - 2 + \frac{1}{3}x < 0\]

Приведём подобные члены:

\[\frac{3}{6}x + \frac{2}{6}x - 5 < 0\]

\[\frac{5}{6}x - 5 < 0\]

Умножим обе части на \(\frac{6}{5} > 0\):

\[x - 6 < 0\]

Множество решений: \((-\infty;\, 6)\).

Ответ: \((-\infty;\, 6)\).

в) \(1 - \frac{3}{7}x - 5 < 6 - \frac{1}{3}x - \frac{2}{21}x\)

Перенесём все члены в левую часть:

\[1 - \frac{3}{7}x - 5 - 6 + \frac{1}{3}x + \frac{2}{21}x < 0\]

Приведём подобные члены. Для дробей с \(x\) общий знаменатель 21:

\[-\frac{9}{21}x + \frac{7}{21}x + \frac{2}{21}x - 10 < 0\]

\[0 \cdot x - 10 < 0\]

Получилось неравенство \(-10 < 0\), справедливое для любых значений \(x\).

Ответ: \((-\infty;\, +\infty)\).

г) \(2x - \frac{3}{5}x > 1\frac{1}{2}x - \frac{1}{2} - \frac{2}{5}x + 2\)

Перенесём все члены в левую часть:

\[2x - \frac{3}{5}x - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} + \frac{2}{5}x - 2 > 0\]

Приведём подобные члены. Для дробей с \(x\) общий знаменатель 10:

\[\frac{20}{10}x - \frac{6}{10}x - \frac{15}{10}x + \frac{4}{10}x - \frac{3}{2} > 0\]

\[\frac{3}{10}x - \frac{3}{2} > 0\]

Умножим обе части на \(\frac{10}{3} > 0\):

\[x - 5 > 0\]

Множество решений: \((5;\, +\infty)\).

Ответ: \((5;\, +\infty)\).

д) \(\frac{2}{5}x - 1 < \frac{3}{4}x - \frac{13}{20}\)

Перенесём все члены в левую часть:

\[\frac{2}{5}x - 1 - \frac{3}{4}x + \frac{13}{20} < 0\]

Общий знаменатель 20:

\[\frac{8}{20}x - \frac{15}{20}x + \frac{13}{20} - 1 < 0\]

\[-\frac{7}{20}x - \frac{7}{20} < 0\]

Умножим обе части на \(\left(-\frac{20}{7}\right)\), меняя знак:

\[x + 1 > 0\]

Множество решений: \((-1;\, +\infty)\).

Ответ: \((-1;\, +\infty)\).

е) \(3 - \frac{1}{4}x + \frac{1}{3}x < 14 + \frac{1}{12}x\)

Перенесём все члены в левую часть:

\[3 - \frac{1}{4}x + \frac{1}{3}x - 14 - \frac{1}{12}x < 0\]

Общий знаменатель 12:

\[-\frac{3}{12}x + \frac{4}{12}x - \frac{1}{12}x - 11 < 0\]

\[0 \cdot x - 11 < 0\]

Получилось неравенство \(-11 < 0\), справедливое для любых значений \(x\).

Ответ: \((-\infty;\, +\infty)\).