Задача 33

а) \(2x - 1 > 6\) и \(6 > 2x - 1\)

Решим первое неравенство:

\[2x - 1 > 6 \implies 2x > 7 \implies x > 3{,}5\]

Множество решений: \((3{,}5;\;+\infty)\).

Решим второе неравенство:

\[6 > 2x - 1 \implies 7 > 2x \implies x < 3{,}5\]

Множество решений: \((-\infty;\;3{,}5)\).

Множества решений различны, значит, неравенства не являются равносильными.

б) \(x < 3\) и \(x + 2 < 5\)

Решим второе неравенство. Перенесём \(2\) в правую часть:

\[x + 2 < 5 \implies x < 3\]

Получили то же неравенство, что и первое. Множество решений обоих неравенств: \((-\infty;\;3)\).

Неравенства являются равносильными.

в) \(2x > 4\) и \(x < 2\)

Решим первое неравенство. Разделим обе части на \(2\) (положительное число, знак сохраняется):

\[2x > 4 \implies x > 2\]

Множество решений первого: \((2;\;+\infty)\).

Множество решений второго: \((-\infty;\;2)\).

Множества решений различны, значит, неравенства не являются равносильными.

г) \(2x > 5\) и \(x - 7 > -2 - x\)

Решим первое неравенство:

\[2x > 5 \implies x > 2{,}5\]

Множество решений: \((2{,}5;\;+\infty)\).

Решим второе неравенство. Перенесём \(-x\) из правой части в левую, а \(-7\) из левой в правую:

\[\begin{gathered} x - 7 > -2 - x \\ \implies x + x > -2 + 7 \implies 2x > 5 \implies x > 2{,}5 \end{gathered}\]

Множество решений: \((2{,}5;\;+\infty)\).

Множества решений совпадают, значит, неравенства являются равносильными.

д) \(2 < 7 - x\) и \(3x < 5 + 2x\)

Решим первое неравенство. Перенесём члены:

\[2 < 7 - x \implies x < 7 - 2 \implies x < 5\]

Множество решений: \((-\infty;\;5)\).

Решим второе неравенство. Перенесём \(2x\) из правой части в левую:

\[3x - 2x < 5 \implies x < 5\]

Множество решений: \((-\infty;\;5)\).

Множества решений совпадают, значит, неравенства являются равносильными.

е) \(3x - 7 > 5\) и \(-3x + 7 < -5\)

Умножим обе части первого неравенства на \(-1\) (отрицательное число, знак меняется на противоположный):

\[3x - 7 > 5 \implies -3x + 7 < -5\]

Получили в точности второе неравенство. Значит, по утверждению 4, неравенства являются равносильными.