Номер / задача 28 страница 12, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Никольского

Решение неравенства первой степени с помощью графика линейной функции

Чтобы решить неравенство вида \(kx + b > 0\) (или \(kx + b < 0\)), где \(k \neq 0\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Рассмотреть в декартовой системе координат \(xOy\) прямую

\[y = kx + b.\]

2. Найти точку пересечения этой прямой с осью \(Ox\), положив \(y = 0\):

\[0 = kx + b \implies x_0 = -\frac{b}{k}.\]

3. Построить прямую \(y = kx + b\) (по двум точкам или схематически, зная знак углового коэффициента \(k\)).

4. Определить по графику, при каких значениях \(x\) точки прямой расположены выше оси \(Ox\) (для неравенства \(kx + b > 0\)) или ниже оси \(Ox\) (для неравенства \(kx + b < 0\)).

При этом возможны два случая:

• Если \(k > 0\) (прямая возрастает), то:

  • \(kx + b > 0\) при \(x \in (x_0;\;+\infty)\),
  • \(kx + b < 0\) при \(x \in (-\infty;\;x_0)\).

• Если \(k < 0\) (прямая убывает), то:

  • \(kx + b > 0\) при \(x \in (-\infty;\;x_0)\),
  • \(kx + b < 0\) при \(x \in (x_0;\;+\infty)\).

Проиллюстрируем оба случая на графиках:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 5))

# --- График а: k > 0 ---
x0 = 2
k, b = 1, -k * x0  # k=1, b=-2, x0=2
x = np.linspace(-1, 5, 300)
y = k * x + b

ax1.axhline(0, color='black', linewidth=0.8)
ax1.axvline(0, color='black', linewidth=0.8)
ax1.plot(x, y, 'b-', linewidth=2, label=r'\(y = kx + b,\ k > 0\)')
ax1.fill_between(x, y, 0, where=(y > 0), alpha=0.2, color='green', label=r'\(kx+b>0\): \((x_0;\ +\infty)\)')
ax1.fill_between(x, y, 0, where=(y < 0), alpha=0.2, color='red', label=r'\(kx+b<0\): \((-\infty;\ x_0)\)')
ax1.plot(x0, 0, 'ko', markersize=7, zorder=5)
ax1.annotate(r'\(A\,(x_0;\,0)\)', xy=(x0, 0), xytext=(x0 + 0.3, -0.8),
             fontsize=12, arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='black'))
ax1.set_title(r'График \(a\): \(k > 0\)', fontsize=14)
ax1.set_xlabel('\(x\)', fontsize=12)
ax1.set_ylabel('\(y\)', fontsize=12)
ax1.legend(fontsize=10, loc='upper left')
ax1.set_ylim(-3, 4)
ax1.grid(True, alpha=0.3)

# --- График б: k < 0 ---
x0 = 2
k2, b2 = -1, -k2 * x0 if False else x0  # k=-1, b=2, x0=2
k2, b2 = -1, 2
x = np.linspace(-1, 5, 300)
y2 = k2 * x + b2

ax2.axhline(0, color='black', linewidth=0.8)
ax2.axvline(0, color='black', linewidth=0.8)
ax2.plot(x, y2, 'b-', linewidth=2, label=r'\(y = kx + b,\ k < 0\)')
ax2.fill_between(x, y2, 0, where=(y2 > 0), alpha=0.2, color='green', label=r'\(kx+b>0\): \((-\infty;\ x_0)\)')
ax2.fill_between(x, y2, 0, where=(y2 < 0), alpha=0.2, color='red', label=r'\(kx+b<0\): \((x_0;\ +\infty)\)')
ax2.plot(x0, 0, 'ko', markersize=7, zorder=5)
ax2.annotate(r'\(A\,(x_0;\,0)\)', xy=(x0, 0), xytext=(x0 + 0.3, -0.8),
             fontsize=12, arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='black'))
ax2.set_title(r'График \(б\): \(k < 0\)', fontsize=14)
ax2.set_xlabel('\(x\)', fontsize=12)
ax2.set_ylabel('\(y\)', fontsize=12)
ax2.legend(fontsize=10, loc='upper right')
ax2.set_ylim(-3, 4)
ax2.grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.savefig(OUTPUT_PATH, dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.close()

Таким образом, чтобы решить неравенство первой степени с одним неизвестным, нужно построить график соответствующей линейной функции \(y = kx + b\), найти точку пересечения прямой с осью \(Ox\) (корень \(x_0 = -\tfrac{b}{k}\)) и определить по графику, на каком интервале значения функции положительны (прямая выше оси \(Ox\)) или отрицательны (прямая ниже оси \(Ox\)).