Часть 2 задача 91 страница 32, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого: вероятность и статистика
Учебник: Просвещение, 2025
Условие: Пользуясь диаграммой Эйлера для событий $A$, $B$ и $C$, выведите формулу сложения вероятностей для трёх событий:
$$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C).$$
Изобразим три события 
, 
и 
на диаграмме Эйлера:
Применим формулу сложения для двух событий, представив 
как объединение двух событий: 
и 
:
Шаг 1. По формуле для двух событий:
Шаг 2. Раскроем пересечение 
. По свойству пересечения и объединения:
Это объединение двух событий, применим к нему формулу сложения для двух событий:
Заметим, что 
, поэтому:
Шаг 3. Подставим всё в исходную формулу:
Раскроем скобки:
Формула доказана. На диаграмме Эйлера видно, почему: при сложении 
каждая из трёх парных областей пересечения учитывается дважды — поэтому их вычитаем. Но тогда область 
, которая была учтена трижды и вычтена трижды, оказывается не учтённой ни разу — поэтому её прибавляем обратно.
