Часть 2 задача 200 страница 65, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого: вероятность и статистика

Учебник: Просвещение, 2025

Условие: В окружность вписан равносторонний треугольник $ABC$. На этой окружности случайным образом выбирают две точки — $D$ и $E$. Найдите вероятность того, что отрезок $DE$: а) не пересекает ни одну из сторон треугольника; б) пересекает ровно две стороны треугольника.

Пусть длина окружности равна . Равносторонний треугольник делит окружность на три равные дуги: , и , каждая длиной .

Точка уже выбрана и лежит на одной из трёх дуг. Без ограничения общности считаем, что лежит на дуге (не содержащей ). Вторая точка выбирается случайным образом на окружности.

Ключевое наблюдение. Отрезок пересекает сторону треугольника тогда и только тогда, когда концы и лежат по разные стороны от этой хорды, то есть на разных дугах, определяемых концами этой стороны.

Пусть точка лежит на дуге (не содержащей ). Тогда:

Если лежит на той же дуге — отрезок не пересекает ни одну сторону.
Если лежит на соседней дуге — отрезок пересекает сторону (одну сторону).
Если лежит на соседней дуге — отрезок пересекает сторону (одну сторону).
Если лежит на дуге, противоположной через вершину — нужно уточнить.

Подумаем аккуратнее. Три стороны треугольника — это хорды , , . Точка на дуге (малой, не содержащей ).

Для каждой стороны-хорды определим, по какую сторону от неё лежит :

Хорда : на малой дуге (стороне без ).
Хорда : на дуге, содержащей (большой дуге ).
Хорда : на дуге, содержащей (большой дуге ).

Отрезок пересекает хорду, если лежит на другой дуге этой хорды относительно .

Положение	Пересекает ?	Пересекает ?	Пересекает ?	Всего сторон
Дуга (та же, что )	Нет	Нет	Нет	0
Дуга	Да	Да	Нет	2
Дуга	Да	Нет	Да	2

Проверим для дуги : точка на малой дуге — относительно хорды она на стороне (другая сторона от ) → пересекает ✓. Относительно хорды — на малой дуге , а на большой дуге → разные стороны → пересекает ✓. Относительно хорды — на дуге, содержащей (та же сторона, что ) → не пересекает ✓.