Часть 2 задача 198 страница 65, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого: вероятность и статистика
Учебник: Просвещение, 2025
Условие: Углы $AOB$ и $COD$ вертикальные. При этом точка $C$ лежит на луче $AO$ и $\angle AOB = 60°$. Из окружности с центром в точке $O$ случайным образом выбирают точку $X$. Найдите вероятность того, что точка $X$ лежит:
а) внутри хотя бы одного из углов $BOC$ или $AOD$;
б) внутри угла $DOC$.
Углы 
и 
— вертикальные, 
, значит 
.
Точка 
лежит на луче 
, поэтому лучи 
и 
— противоположные. Аналогично, лучи 
и 
— противоположные (так как углы 
и 
вертикальные).
Четыре луча 
, 
, 
, 
делят окружность на 4 дуги. Найдём углы:
(вертикальный к 
)
(так как 
, ведь 
и 
— противоположные лучи)
(вертикальный к 
)
Проверка: 
. ✓
а) Найдём вероятность того, что точка 
лежит внутри хотя бы одного из углов 
или 
.
Углы 
и 
— вертикальные, поэтому не пересекаются. Дуга, соответствующая углу 
, равна 
, и дуга, соответствующая углу 
, тоже равна 
. Суммарная длина дуг:
Вероятность равна отношению суммарной длины дуг к длине всей окружности (
):
б) Найдём вероятность того, что точка 
лежит внутри угла 
.
Дуга, соответствующая углу 
, равна 
. Тогда:
Ответ: а) 
; б) 
.
