Часть 1 задача 147 страница 92, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого: вероятность и статистика

Учебник: Просвещение, 2025

Условие: В Изумрудном городе шесть площадей. Каждая площадь соединена улицами ровно с тремя другими площадями. Никакие две улицы в городе не пересекаются. а) Начертите возможный план Изумрудного города. б) Можно ли устроить экскурсию по всем улицам и площадям Изумрудного города, не проходя ни по одной улице дважды?

а) Нарисуем граф с 6 вершинами, где каждая вершина имеет степень 3.

Проверим: 6 вершин, каждая степени 3, значит суммарная степень = 18, число рёбер = 18/2 = 9.

Например, расположим вершины 1-6 и соединим их так:

1 — 2, 1 — 3, 1 — 4
2 — 3, 2 — 5
3 — 6
4 — 5, 4 — 6
5 — 6

Проверим степени:

1: связана с 2, 3, 4 → степень 3 ✓
2: связана с 1, 3, 5 → степень 3 ✓
3: связана с 1, 2, 6 → степень 3 ✓
4: связана с 1, 5, 6 → степень 3 ✓
5: связана с 2, 4, 6 → степень 3 ✓
6: связана с 3, 4, 5 → степень 3 ✓

б) Определим, является ли этот граф эйлеровым.

Каждая из 6 вершин имеет степень 3, то есть нечётную степень.

По теореме Эйлера, если в графе существует путь, проходящий через все рёбра ровно по одному разу, то в этом графе не больше двух вершин нечётной степени.

У нас же все 6 вершин имеют нечётную степень, что больше двух.

Значит, эйлеров путь в этом графе не существует.

Ответ: нет, нельзя устроить такую экскурсию — невозможно пройти по всем улицам ровно по одному разу, так как все 6 площадей имеют нечётную степень (к каждой подходят ровно 3 улицы), а для существования эйлерова пути вершин нечётной степени должно быть не более двух.

Номер 147