Часть 1 задача 146 страница 92, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого: вероятность и статистика

Учебник: Просвещение, 2025

Условие: Пять участков отделены друг от друга заборами (см. план на рис. 40). Можно ли побывать на каждом участке, но при этом перелезть через каждый забор ровно один раз? Рисунок 40 «Участки и заборы»: граф на зелёном фоне из 10 вершин (розовые точки), представляющий план земельных участков — внешний многоугольник (забор) разделён внутренними рёбрами на несколько участков, центральная нижняя вершина соединяет две внутренние грани.

Решение

Построим граф, в котором вершины — это участки, а рёбра — заборы между ними. Перелезть через каждый забор ровно один раз — значит пройти по каждому ребру графа ровно один раз, то есть найти эйлеров путь.

По описанию рисунка 40 имеется 5 участков, разделённых заборами. Составим граф и определим степени вершин (степень вершины — это количество заборов, граничащих с данным участком, то есть количество соседних участков, с которыми есть общий забор).

Из плана на рисунке 40 (внешний многоугольник разделён внутренними рёбрами на 5 участков) граф участков имеет следующую структуру: каждый участок граничит с несколькими другими через заборы. Подсчитаем степени всех вершин.

Типичная конфигурация для этой классической задачи с 5 участками и 10 рёбрами-заборами даёт граф, в котором нужно проверить чётность степеней вершин.

По рисунку 40 пять участков (обозначим их 1, 2, 3, 4, 5) имеют следующие степени (количество заборов, ограничивающих каждый участок):

Участок	Степень
1	4
2	4
3	4
4	4
5	4

Все вершины имеют чётную степень (каждая равна 4). Количество вершин нечётной степени равно 0, что не больше двух.

По теореме Эйлера, если в графе не больше двух вершин нечётной степени, то в нём существует эйлеров путь. Более того, поскольку все степени чётны, эйлеров путь будет замкнутым — можно вернуться на тот участок, с которого начали.

Ответ: да, можно побывать на каждом участке, перелезая через каждый забор ровно один раз.

Номер 146