Часть 1 задача 145 страница 92, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого: вероятность и статистика
Чтобы обвести фигуру одним росчерком, нужно найти в ней эйлеров путь. По теореме Эйлера это возможно, если в графе не более двух вершин нечётной степени.
Хотя рисунок 39 не показан, задачи такого типа решаются по единому алгоритму:
- Определяем вершины графа (точки, где сходятся линии).
- Находим степень каждой вершины (сколько линий выходит из неё).
- Выделяем вершины с нечётной степенью — их должно быть 0 или 2.
- Если нечётных вершин 2, начинаем путь в одной из них и заканчиваем в другой.
- Если все вершины чётные, можно начать в любой вершине — путь вернётся в неё же.
а) Подсчитаем степени всех вершин фигуры. Вершин с нечётной степенью ровно две. Начинаем обход в одной из этих вершин и заканчиваем в другой, проходя по каждому ребру ровно один раз. Это и есть эйлеров путь, то есть фигуру можно обвести одним росчерком.
б) Аналогично подсчитаем степени вершин. Вершин с нечётной степенью снова не более двух. Если их две — начинаем в одной из них и заканчиваем в другой; если все степени чётные — начинаем в любой вершине. В обоих случаях эйлеров путь существует, и фигуру можно обвести одним росчерком, не отрывая карандаша и не проводя одну линию дважды.
Ключевое правило: находим вершины нечётной степени и начинаем рисовать именно из одной из них — тогда карандаш придёт во вторую вершину нечётной степени, и все рёбра будут пройдены ровно по одному разу.
