Часть 1 задача 144 страница 92, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого: вероятность и статистика

Решение

Чтобы понять, можно ли нарисовать фигуру не отрывая карандаша от бумаги и не проводя одну линию дважды, нужно проверить, является ли соответствующий граф эйлеровым, то есть содержит ли он не более двух вершин нечётной степени.

а) Открытый конверт

Открытый конверт — это прямоугольник (квадрат) с двумя диагоналями и треугольником сверху. Обозначим вершины:

• A, B — нижние вершины квадрата
• C, D — верхние вершины квадрата (они же основание треугольника)
• E — верхняя вершина треугольника (вершина «клапана» конверта)

Рёбра: AB, BC, CD, DA, AC, BD (стороны и диагонали квадрата), CE, DE (стороны треугольника).

Подсчитаем степени вершин:

• A: AB, AD, AC — степень 3 (нечётная)
• B: AB, BC, BD — степень 3 (нечётная)
• C: BC, CD, AC, CE — степень 4 (чётная)
• D: CD, DA, BD, DE — степень 4 (чётная)
• E: CE, DE — степень 2 (чётная)

Вершин нечётной степени ровно две: A и B. Значит, граф эйлеров, и фигуру можно нарисовать не отрывая карандаша. Начинать нужно в одной из нижних вершин (A или B), а заканчивать — в другой.

Например, путь: A → C → B → D → A → B → D → C → E → D... Подберём аккуратнее:

A → B → C → D → A → C → E → D → B

б) Квадраты Льюиса Кэрролла

Квадраты Льюиса Кэрролла — это фигура из двух квадратов, имеющих общую сторону (или вложенных квадратов с соединениями). Классический вариант: два квадрата с общей стороной и диагоналями в каждом.

Рассмотрим типичную фигуру — три квадрата в ряд (или два квадрата с общей стороной). Для двух квадратов с общей стороной:

Вершины: A, B, C (нижний ряд), D, E, F (верхний ряд).

Рёбра: AB, BC, DE, EF, AD, BE, CF, AE, BD, BF, CE (стороны двух квадратов и их диагонали).

Подсчитаем степени для двух квадратов с диагоналями и общей стороной BE:

Левый квадрат ADEB: стороны AD, DE, EB, BA; диагонали AE, DB.
Правый квадрат BEFC: стороны BE, EF, FC, CB; диагонали BF, EC.

• A: AD, AB, AE — степень 3 (нечётная)
• B: BA, BE, BD, BC, BF — степень 5 (нечётная)
• C: CB, CF, CE — степень 3 (нечётная)
• D: DA, DE, DB — степень 3 (нечётная)
• E: ED, EB, EA, EF, EC — степень 5 (нечётная)
• F: FE, FC, FB — степень 3 (нечётная)

Все 6 вершин имеют нечётную степень — это больше двух. Значит, эйлеров путь не существует, и нарисовать эту фигуру одним росчерком нельзя.

Однако если рассматривать вариант без диагоналей общей стороны (только два квадрата с общей стороной без диагоналей, но с диагоналями внутри каждого), то нужно пересчитать степени для конкретного рисунка. В классической задаче Кэрролла ответ таков: фигуру можно нарисовать, если вершин нечётной степени не более двух.

Ответ: а) Фигуру можно нарисовать не отрывая карандаша — начинаем в одной из нижних вершин, заканчиваем в другой (ровно 2 вершины нечётной степени). б) Если все вершины имеют нечётную степень (больше двух), то нарисовать фигуру одним росчерком невозможно; если же нечётных вершин не более двух — возможно. Ответ зависит от конкретного рисунка.