Часть 1 задача 141 страница 89, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого: вероятность и статистика
Учебник: Просвещение, 2025
Условие: Можно ли выписать в ряд натуральные числа от 1 до 9 так, чтобы сумма любых двух, стоящих рядом, делилась на 5 или на 12?
Указание. Постройте граф, соединив рёбрами числа, которые могут стоять рядом. Затем найдите какую-нибудь цепь в этом графе, проходящую через все рёбра.
Построим граф: вершины — числа от 1 до 9, рёбра соединяют те пары, сумма которых делится на 5 или на 12.
Проверим все пары:
- Сумма делится на 5: (1,4), (1,9), (2,3), (2,8), (3,7), (4,6), (5,5)—нет, (6,9), (7,8)
- Сумма делится на 12: (3,9), (4,8), (5,7)
Итого рёбра: (1,4), (1,9), (2,3), (2,8), (3,7), (3,9), (4,6), (4,8), (5,7), (6,9), (7,8).
Выпишем степени вершин (количество рёбер):
| Вершина | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Степень | 2 | 2 | 3 | 3 | 1 | 2 | 3 | 3 | 3 |
Нам нужно найти цепь, проходящую через все 9 вершин (гамильтонову цепь).
Заметим, что вершина 5 соединена только с вершиной 7, поэтому число 5 должно стоять на одном из концов ряда, а рядом с ним — число 7.
Начнём с 5 и будем строить цепь:
Проверим:
- 5 + 7 = 12 ✓ (делится на 12)
- 7 + 3 = 10 ✓ (делится на 5)
- 3 + 2 = 5 ✓ (делится на 5)
- 2 + 8 = 10 ✓ (делится на 5)
- 8 + 4 = 12 ✓ (делится на 12)
- 4 + 1 = 5 ✓ (делится на 5)
- 1 + 9 = 10 ✓ (делится на 5)
- 9 + 6 = 15 ✓ (делится на 5)
Все условия выполнены, цепь проходит через все 9 вершин.
Ответ: да, можно. Например: 5, 7, 3, 2, 8, 4, 1, 9, 6.
