Номер / задача 967 страница 191, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Макарычева
Учебник: Просвещение, 2023
Условие: Докажите, что значения многочлена $x^3 - x$ при целых значениях $x$ кратны числу 6.
Разложим на множители многочлен 
.
Вынесем общий множитель 
за скобки:
Применим к выражению 
формулу разности квадратов:
Значит,
Произведение 
— это произведение трёх последовательных целых чисел.
Среди любых трёх последовательных целых чисел обязательно есть хотя бы одно чётное, поэтому произведение делится на 2. Также среди любых трёх последовательных целых чисел ровно одно делится на 3, поэтому произведение делится на 3.
Так как произведение делится и на 2, и на 3, а числа 2 и 3 взаимно просты, то оно делится на 
.
Следовательно, значение многочлена 
при любом целом 
кратно 6, что и требовалось доказать.
