Номер / задача 916 страница 181, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Макарычева

Учебник: Просвещение, 2023

Условие: *(Задача-исследование.)* Верно ли утверждение: если $p$ — простое число, большее трёх, то значение выражения $p^2 - 1$ кратно 12? 1) Проверьте правильность утверждения на конкретных примерах. 2) Разложите многочлен $p^2 - 1$ на множители. Обсудите, почему полученное произведение кратно 4. 3) Обсудите, почему полученное произведение делится на 3. 4) Сделайте вывод.

1) Проверим на примерах:

p = 5: ✓

p = 7: ✓

p = 11: ✓

p = 13: ✓

Утверждение подтверждается.

2) Разложим на множители:

Так как — простое число, большее 3, то — нечётное. Значит, и — оба чётные числа. Более того, это два последовательных чётных числа, поэтому одно из них делится на 2, а другое — на 4.

Значит, произведение делится на . Но нам достаточно показать кратность 4: раз оба множителя чётные, то произведение делится как минимум на . (На самом деле даже на 8, что тем более достаточно.)

3) Покажем, что произведение делится на 3:

Числа , , — три последовательных натуральных числа. Среди любых трёх последовательных натуральных чисел ровно одно делится на 3. Так как — простое число, большее 3, то само на 3 не делится. Значит, на 3 делится одно из чисел или .