Номер / задача 61 страница 18, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Макарычева
Учебник: Просвещение, 2023
Условие: *(Для работы в парах.)* Докажите, что всякое простое число, начиная с 5, либо увеличенное, либо уменьшенное на 1, делится на 6.
1) Проверьте утверждение на примерах. Одному учащемуся рекомендуем взять простые числа из третьего десятка, другому — из седьмого десятка.
2) Обсудите друг с другом, из чего следует справедливость указанного свойства.
3) Проведите доказательство.
1) Проверка на примерах.
Простые числа из третьего десятка: 23, 29.
, 
✓
, 
✓
Простые числа из седьмого десятка: 61, 67.
✓
✓
2) Обсуждение идеи.
Любое целое число при делении на 6 даёт один из остатков: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Запишем это с помощью формул:
Если простое число 
, то оно нечётное (иначе делилось бы на 2) и не делится на 3. Значит, подходят не все остатки — нужно отбросить те, при которых число делится на 2 или на 3.
3) Доказательство.
Пусть 
— простое число, 
. Рассмотрим все возможные остатки от деления 
на 6:
— делится на 6, значит на 2 и на 3, не простое. ✗
— тогда 
, делится на 6. ✓
— делится на 2, не простое. ✗
— делится на 3, не простое. ✗
— делится на 2, не простое. ✗
— тогда 
, делится на 6. ✓
Итак, простое число 
может иметь только остаток 1 или 5 при делении на 6. В первом случае 
делится на 6, во втором — 
делится на 6.
Значит, всякое простое число, начиная с 5, либо увеличенное, либо уменьшенное на 1, делится на 6. 
