Номер / задача 568 страница 127, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Макарычева
Учебник: Просвещение, 2023
Условие: Докажите, что при любом натуральном $k$:
а) число $3^{4k}$ оканчивается единицей;
б) число $10^k - 1$ кратно 3.
а) Докажите, что 
оканчивается единицей.
Заметим, что 
.
Число 81 оканчивается единицей. При умножении числа, оканчивающегося на 1, на число, оканчивающееся на 1, получается число, оканчивающееся на 1 (так как 
).
Поэтому при любом натуральном 
:
Что и требовалось доказать. 
б) Докажите, что 
кратно 3.
Заметим, что 
(число, состоящее из 
девяток).
Представим:
Поскольку 
, а 
, то число 
делится на 3 при любом натуральном 
.
Что и требовалось доказать. 
