Номер / задача 567 страница 127, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Макарычева
Учебник: Просвещение, 2023
Условие: Натуральное число $a$ оканчивается единицей. Какой цифрой оканчивается степень числа $a$ с натуральным показателем? Для каких ещё цифр выполняется аналогичное свойство?
Если натуральное число 
оканчивается единицей, то 
для некоторого целого 
.
При умножении двух чисел последняя цифра произведения зависит только от последних цифр множителей. Поскольку 
, последняя цифра при возведении в любую натуральную степень сохраняется:
оканчивается на 1,
оканчивается на 1 (так как 
),
оканчивается на 1,- и так далее.
Значит, степень числа 
с любым натуральным показателем оканчивается цифрой 1.
Проверим, для каких ещё цифр выполняется аналогичное свойство (то есть последняя цифра числа сохраняется при возведении в любую натуральную степень). Для этого достаточно проверить, чему равна последняя цифра произведения 
для каждой цифры 
:
Цифра  |
 оканчивается на |
|---|---|
| 0 | 0 ✓ |
| 1 | 1 ✓ |
| 2 | 4 ✗ |
| 3 | 9 ✗ |
| 4 | 6 ✗ |
| 5 | 5 ✓ |
| 6 | 6 ✓ |
| 7 | 9 ✗ |
| 8 | 4 ✗ |
| 9 | 1 ✗ |
Если 
оканчивается на 
, то и 
оканчивается на 
(так как последняя цифра 
равна 
), и так далее для любой степени.
Аналогичное свойство выполняется для цифр 0, 5 и 6.
