Номер / задача 539 страница 125, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Макарычева
Учебник: Просвещение, 2023
Условие: Докажите, что при любом натуральном $n$ значение дроби является натуральным числом:
а) $\dfrac{10^n - 1}{9}$;
б) $\dfrac{10^n + 8}{9}$;
в) $\dfrac{10^n - 4}{3}$.
а) Докажем, что 
— натуральное число при любом натуральном 
.
Заметим, что 
, поэтому 
, откуда 
.
Значит, 
делится на 9 при любом натуральном 
, и дробь является натуральным числом.
Можно также заметить, что
т.е. это число, состоящее из 
единиц. 
б) Докажем, что 
— натуральное число при любом натуральном 
.
Так как 
, то 
, откуда
Значит, 
делится на 9 при любом натуральном 
, и дробь является натуральным числом. 
в) Докажем, что 
— натуральное число при любом натуральном 
.
Так как 
, то 
, откуда
Значит, 
делится на 3 при любом натуральном 
, и дробь является натуральным числом. Кроме того, при 
имеем 
, так что результат — натуральное число. 
