Номер / задача 409 страница 100, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Макарычева
Учебник: Просвещение, 2023
Условие: (Задача-исследование.) Найдите всевозможные значения $a$, где $a$ — натуральное число, при которых число 90 является наименьшим общим кратным чисел 15 и $a$.
1) Разложите на простые множители каждое из чисел 90 и 15.
2) Обсудите, какие множители должны входить в разложение числа $a$.
3) Сделайте вывод о значениях числа $a$.
1) Разложим на простые множители числа 90 и 15:
2) По определению НОК(15, 
) = 90. Значит, число 90 должно делиться на 
, и при этом разложение числа 
вместе с разложением числа 15 должно давать именно 
.
В разложении числа 15 уже есть множители 
и 
. Чтобы в НОК появился множитель 
, он обязательно должен входить в разложение 
. Чтобы в НОК появился множитель 
, в разложение 
должен входить множитель 
(поскольку в 15 есть только 
).
Множитель 
уже есть в числе 15, поэтому он может входить или не входить в 
.
Никакие другие простые множители (7, 11, ...) входить в 
не могут, иначе НОК было бы больше 90.
3) Таким образом, число 
имеет вид 
, где 
или 
.
Найдём все значения:
- При
: 
. Проверка: НОК(15, 18) = 90 ✓ - При
: 
. Проверка: НОК(15, 90) = 90 ✓
Ответ: 
или 
.
