Номер / задача 1233 страница 236, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Макарычева
Учебник: Просвещение, 2023
Условие: Найдите все простые числа $p$ и $q$, для которых $p^2 - 2q^2 = 1$.
Нам нужно найти все простые числа 
и 
, для которых 
.
Перепишем уравнение:
Проверим чётность. Если 
, то 
, значит 
— простое число. Подходит!
Проверим, есть ли другие решения. Если 
— нечётное простое, то 
— нечётное, 
— чётное, 
— нечётное, значит 
— нечётное. Поскольку 
— простое и нечётное, то 
.
Рассмотрим уравнение по модулю 4. Для нечётного 
: 
, поэтому 
, и 
.
Но для любого нечётного 
: 
.
Получаем 
— противоречие.
Значит, нечётных простых 
среди решений нет, и единственное решение — 
, 
.
Ответ: 
, 
.
