Номер / задача 1211 страница 235, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Макарычева

Доказательство.

Пусть — простое число, . При делении на 30 получаем:

Нужно доказать, что — простое число или .

Предположим противное: пусть — составное число, то есть , где . Тогда делится на некоторое простое число , причём или .

Заметим, что , поэтому число 30 делится на 2, 3 и 5.

Случай 1. Если делится на 2, то и делится на 2, значит делится на 2. Но — простое и , противоречие.

Случай 2. Если делится на 3, то и делится на 3, значит делится на 3. Но — простое, противоречие.

Случай 3. Если делится на 5, то и делится на 5, значит делится на 5. Но — простое, противоречие.

Таким образом, не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5.

Перечислим все остатки от 0 до 29, не делящиеся ни на 2, ни на 3, ни на 5:

Среди них — простые числа, а — единица.

Значит, — либо простое число, либо единица.

Остаётся проверить случай . Простые числа, не превосходящие 30: . Для них (так как при , или невозможно). Каждое из этих чисел — простое, что удовлетворяет условию.

Что и требовалось доказать.